Ian Stewart*
Los matemáticos son la mar de divertidos; trabajan en un mundo de abstracciones, y muchos exhiben poco interés en lo que ocurre fuera de éste. Llevados por su gusto estético, dedican sus esfuerzos a la solución de problemas abstrusos más que a la de metas prácticas. A pesar de esta continua residencia en otros mundos, los resultados de sus deliberaciones pueden llegar a tener un enorme efecto práctico. Para eterna frustración de sus colegas de disciplinas cercanas, los matemáticos, sin excepción, creen firmemente que nada en matemáticas es verdad si no ha sido probado; pero no sólo más allá de toda duda razonable, sino más allá de toda duda no razonable. ¿Por qué?.
En otras disciplinas la evidencia necesaria para aceptar una teoría no es una prueba lógica que excluya cualquier otra posibilidad. Es la evidencia experimental de las predicciones lo que valida la teoría. A mayor evidencia (a favor), más feliz está la gente con la teoría; y no hay problema en trabajar bajo la posibilidad de que un día la teoría resulte falsa después de todo. Al no buscar la verdad absoluta, se está contento con no hallarla.
No hace mucho se creía que las matemáticas eran excepcionales. Sus verdades, se decía, son realmente absolutas. Luego de una buena dosis de Godel la opinión general cambió. Las matemáticas son sólo tan ciertas como lo son sus fundamentos, y es imposible probar que sus fundamentos sean cien por ciento sólidos. Los matemáticos han aprendido a vivir con eso. Las ciencias naturales pasaron por algo similar, pero mucho antes. En el siglo XVIII se temió que los científicos supieran demasiado del universo, tanto que llegaran a quedarse sin trabajo. Esto resultó infundado.
Los matemáticos aún insisten en una lógica muy rigurosa y la evidencia experimental no los impresiona, aun cuando parezca ser a prueba de fugas. ¿Por qué el escepticismo de los matemáticos raya en la locura? Hay varias razones. Una es que en muchas ocasiones la intuición o la evidencia experimental (incluso fuerte) han resultado engañosas. La experiencia muestra que las intuiciones verosímiles no deben creerse, que la evidencia numérica no vale el papel de computadora en el que está impresa. El problema tiene que ver con el modo en que las matemáticas se construyen. Es como un enorme castillo de naipes: teorema sobre teorema apuntalados por lemas y corolarios, con axiomas en el fondo (en los fundamentos, a modo de pilotes) y las anheladas conjeturas en las nubes, sin conexión con el edificio principal. Si una pequeña parte es falsa, el edificio entero puede caerse. No hay que tomar esto muy literalmente; si un matemático comete un error rara vez tiene consecuencias tan serias, tal vez sólo un balcón se caiga. Hay verificaciones internas y balances. Pero para mantener la integridad estructural de las matemáticas es importante no usar materiales de mala calidad.
Un modo usual de prueba, muy poderoso y popular, es la prueba por contradicción (o reducción al absurdo). Para probar un enunciado x el matemático comienza por negarlo, y sigue las consecuencias de ello para finalmente llegar a una autocontradicción o a una conclusión que contradiga algún teorema conocido. Esto muestra que la negación de x es falsa, entonces x es verdadera. Otra razón para querer pruebas rigurosas es que no tenerlas indica que algo importante no se ha comprendido. El teorema de la curva de Jordán, por ejemplo, condujo a la topología algebraica. Este campo es vital para las matemáticas de hoy y produce dividendos útiles en varias áreas científicas, especialmente en las teorías de los campos de norma. La obsesión con las demostraciones no es sólo pedantería, es una fuente importante de nuevas ideas y métodos.
*(Inglaterra, 1945) Profesor y director del Centro de Conocimiento de Matemáticas de Warwick. Ha ganado diversos premios por sus actividades de divulgación de la ciencia y es autor de más de 60 libros.
(fragmentos tomados de: "Todo por saber, Ensayos de cultura científica" Editado por la Dirección General de Divulgación de la Ciencia, Universidad Autónoma de México, 1999)
Universalia nº 16 Enero-Abril 2002
